详解神经网络的前向传播和反向传播

本篇博客是对Michael Nielsen所著的《Neural Network and Deep Learning》第2章内容的解读，有兴趣的朋友可以直接阅读原文Neural Network and Deep Learning。

　　对神经网络有些了解的人可能都知道，神经网络其实就是一个输入$X$到输出$Y$的映射函数：$f(X)=Y$，函数的系数就是我们所要训练的网络参数$W$，只要函数系数确定下来，对于任何输入$x_i$我们就能得到一个与之对应的输出$y_i$，至于$y_i$是否符合我们预期，这就属于如何提高模型性能方面的问题了，本文不做讨论。

　　那么问题来了，现在我们手中只有训练集的输入$X$和输出$Y$，我们应该如何调整网络参数$W$使网络实际的输出$f(X)=\hat{Y}$与训练集的$Y$尽可能接近？

　　在开始正式讲解之前，让我们先对反向传播过程有一个直观上的印象。反向传播算法的核心是代价函数$C$对网络中参数（各层的权重$w$和偏置$b$）的偏导表达式$\frac{\partial{C}}{\partial{w}}$和$\frac{\partial{C}}{\partial{b}}$。这些表达式描述了代价函数值$C$随权重$w$或偏置$b$变化而变化的程度。到这里，BP算法的思路就很容易理解了：如果当前代价函数值距离预期值较远，那么我们通过调整$w$和$b$的值使新的代价函数值更接近预期值（和预期值相差越大，则$w$和$b$调整的幅度就越大）。一直重复该过程，直到最终的代价函数值在误差范围内，则算法停止。

　　BP算法可以告诉我们神经网络在每次迭代中，网络的参数是如何变化的，理解这个过程对于我们分析网络性能或优化过程是非常有帮助的，所以还是尽可能搞透这个点。我也是之前大致看过，然后发现看一些进阶知识还是需要BP的推导过程作为支撑，所以才重新整理出这么一篇博客。

前向传播过程

　　在开始反向传播之前，先提一下前向传播过程，即网络如何根据输入$X$得到输出$Y$的。这个很容易理解，粗略看一下即可，这里主要是为了统一后面的符号表达。

记$w_{jk}^{l}$为第$l-1$层第$k$个神经元到第$l$层第$j$个神经元的权重，$b_j^l$为第$l$层第$j$个神经元的偏置，$a_j^l$为第$l$层第$j$个神经元的激活值（激活函数的输出）。不难看出，$a_j^l$的值取决于上一层神经元的激活：

$$a_j^l=\sigma{(\sum_k{w_{jk}^l a_k^{l-1}}+b_j^l)} \tag{1}$$ 将上式重写为矩阵形式： $$a^l=\sigma{(w^l a^{l-1} +b^l)} \tag{2}$$ 为了方便表示，记 $z^l=w^l a^{l-1} +b^l$为每一层的权重输入， $(2)$式则变为 $a^l=\sigma{(z^l)}$。
　　利用 $(2)$式一层层计算网络的激活值，最终能够根据输入 $X$得到相应的输出$\hat Y$。

反向传播过程

　　反向传播过程中要计算$\frac{\partial{C}}{\partial w}$和$\frac{\partial{C}}{\partial b}$，我们先对代价函数做两个假设，以二次损失函数为例：

$$C=\frac{1}{2n} \sum_x{\| y(x) - a^L(x)\| ^ 2} \tag{3}$$ 其中 $n$为训练样本$x$的总数， $y=y(x)$为期望的输出，即ground truth， $L$为网络的层数，$a^L(x)$为网络的输出向量。
假设1：总的代价函数可以表示为单个样本的代价函数之和的平均： $$C=\frac{1}{n} \sum_x{C_x} 　　C_x=\frac{1}{2}\|y-a^L\|^2 \tag{4}$$
　　这个假设的意义在于，因为反向传播过程中我们只能计算单个训练样本的 $\frac{\partial{C_x}}{\partial w}$和 $\frac{\partial{C_x}}{\partial b}$，在这个假设下，我们可以通过计算所有样本的平均来得到总体的 $\frac{\partial{C}}{\partial w}$和 $\frac{\partial{C}}{\partial b}$
假设2：代价函数可以表达为网络输出的函数 $costC=C(a^L)$，比如单个样本 $x$的二次代价函数可以写为： $$C_x=\frac{1}{2}\|y-a^L\|^2=\frac{1}{2} \sum_j{(y_j - a_j^L)^2} \tag{5}$$

反向传播的四个基本方程

　　权重$w$和偏置$b$的改变如何影响代价函数$C$是理解反向传播的关键。最终，这意味着我们需要计算出每个$\frac{\partial{C}}{\partial w_{jk}^l}$和$\frac{\partial{C}}{\partial b_j^l}$，在讨论基本方程之前，我们引入误差$\delta$的概念，$\delta_j^l$表示第$l$层第$j$个单元的误差。关于误差的理解，《Neural Network and Deep Learning》书中给了一个比较形象的例子。

　　如上图所示，假设有个小恶魔在第$l$层第$j$个单元捣蛋，他让这个神经元的权重输出变化了$\Delta z_j^l$，那么这个神经元的激活输出为$\sigma(z_j^l+\Delta z_j^l)$，然后这个误差向后逐层传播下去，导致最终的代价函数变化了$\frac{\partial{C}}{\partial z_j^l}\Delta z_j^l$。现在这个小恶魔改过自新，它想帮助我们尽可能减小代价函数的值（使网络输出更符合预期）。假设$\frac{\partial{C}}{\partial z_j^l}$一开始是个很大的正值或者负值，小恶魔通过选择一个和$\frac{\partial{C}}{\partial z_j^l}$方向相反的$\Delta z_j^l$使代价函数更小（这就是我们熟知的梯度下降法）。随着迭代的进行，$\frac{\partial{C}}{\partial z_j^l}$会逐渐趋向于0，那么$\Delta z_j^l$对于代价函数的改进效果就微乎其微了，这时小恶魔就一脸骄傲的告诉你：“俺已经找到了最优解了（局部最优）”。这启发我们可以用$\frac{\partial{C}}{\partial z_j^l}$来衡量神经元的误差：

$$\delta_j^l=\frac{\partial{C}}{\partial z_j^l}$$ 下面就来看看四个基本方程是怎么来的。
　　
1. 输出层的误差方程
$$\delta_j^L=\frac{\partial C}{\partial z_j^L}=\frac{\partial C}{\partial a_j^L}\frac{\partial a_j^L}{\partial z_j^L}=\frac{\partial C}{\partial a_j^L}\sigma'(z_j^L) \tag{BP1}$$ 如果上面的东西你看明白了，这个方程应该不难理解，等式右边第一项 $\frac{\partial C}{\partial a_j^L}$衡量了代价函数随网络最终输出的变化快慢，而第二项 $\sigma'(z_j^L)$则衡量了激活函数输出随 $z_j^L$的变化快慢。当激活函数饱和，即 $\sigma'(z_j^L)\approx0$时，无论 $\frac{\partial C}{\partial a_j^L}$多大，最终 $\delta_j^L\approx0$，输出神经元进入饱和区，停止学习。
　　（BP1）方程中两项都很容易计算，如果代价函数为二次代价函数 $C=\frac{1}{2} \sum_j{(y_j - a_j^L)^2}$，则 $\frac{\partial C}{\partial a_j^L}=a_j^L-y_j$，同理，对激活函数 $\sigma(z)$求 $z_j^L$的偏导即可求得 $\sigma'(z_j^L)$。将（BP1）重写为矩阵形式： $$\delta^L=\nabla_aC \odot \sigma'(z^L) \tag{BP1a}$$ $\odot$为Hadamard积，即矩阵的点积。
2. 误差传递方程
$$\delta^l=((w^{l+1})^T\delta^{l+1})\odot \sigma'(z^l) \tag{BP2}$$ 这个方程说明我们可以通过第 $l+1$层的误差 $\delta^{l+1}$计算第 $l$层的误差$\delta^{l}$，结合（BP1）和（BP2）两个方程，我们现在可以计算网络中任意一层的误差了，先计算 $\delta^L$，然后计算 $\delta^{L-1}$， $\delta^{L-2}$，…，直到输入层。
证明过程如下： $$\delta_j^l=\frac{\partial C}{\partial z_j^l} = \sum_k \frac{\partial C}{\partial z_k^{l+1}} \frac{\partial z_k^{l+1}}{\partial z_j^l}= \sum_k \delta_k^{l+1} \frac{\partial z_k^{l+1}}{\partial z_j^l}$$ 因为 $z_k^{l+1}=\sum_j{w_{kj}^{l+1}a_j^l+b_k^{l+1}}=\sum_j{w_{kj}^{l+1}\sigma{(z_j^l)}+b_k^{l+1}}$，所以 $\frac{\partial z_k^{l+1}}{\partial z_j^l}=w_{kj}^{l+1}\sigma'(z_j^l)$，因此可以得到(BP2)， $$\delta_j^l=\sum_k w_{kj}^{l+1} \delta_k^{l+1} \sigma'(z_j^l)$$
3. 代价函数对偏置的改变率
$$\frac{\partial C}{\partial b_j^l}=\frac{\partial C}{\partial z_j^l}\frac{\partial z_j^l}{\partial b_j^l}=\frac{\partial C}{\partial z_j^l}=\delta_j^l \tag{BP3}$$ 这里因为 $z_j^l=\sum_k{w_{jk}^l a_k^{l-1}}+b_j^l$所以 $\frac{\partial z_j^L}{\partial b_j^L}=1$
4. 代价函数对权重的改变率
$$\frac{\partial C}{\partial w_{jk}^l}=\frac{\partial C}{\partial z_j^l}\frac{\partial z_j^L}{\partial w_{jk}^l}=\frac{\partial C}{\partial z_j^l}a_k^{l-1}=a_k^{l-1}\delta_j^l \tag{BP4}$$ 可以简写为 $$\frac{\partial C}{\partial w}=a_{in}\delta_{out} \tag{6}$$ ，不难发现，当上一层激活输出接近0的时候，无论返回的误差有多大， $\frac{\partial C}{\partial w}$的改变都很小，这也就解释了为什么神经元饱和不利于训练。

　　从上面的推导我们不难发现，当输入神经元没有被激活，或者输出神经元处于饱和状态，权重和偏置会学习的非常慢，这不是我们想要的效果。这也说明了为什么我们平时总是说激活函数的选择非常重要。

　　当我计算得到$\frac{\partial C}{\partial w_{jk}^l}$和$\frac{\partial C}{\partial b_j^l}$后，就能愉悦地使用梯度下降法对参数进行一轮轮更新了，直到最后模型收敛。

反向传播为什么快

　　回答这个问题前，我们先看一下普通方法怎么求梯度。以计算权重为例，我们将代价函数看成是权重的函数$C=C(w)$，假设现在网络中有100万个参数，我们可以利用微分的定义式来计算代价函数对其中某个权重$w_j$的偏导：

$$\frac{\partial C}{\partial w_j}\approx\frac{C(w+\varepsilon \vec{e_j}) - C(w)}{\varepsilon} \tag{7}$$ 然后我们算一下，为了计算 $\frac{\partial C}{\partial w_j}$，我们需要从头到尾完整进行一次前向传播才能得到最终 $C(w+\varepsilon \vec{e_j})$的值，要计算100万个参数的偏导就需要前向传播100万次，而且这还只是一次迭代，想想是不是特别可怕？
　　再反观反向传播算法，如方程（BP4）所示，我们只要知道 $a_k^{l-1}$和 $\delta_j^l$就能计算出偏导 $\frac{\partial C}{\partial w_{jk}^l}$。激活函数值 $a_k^{l-1}$在一次前向传播后就能全部得到，然后利用(BP1）和（PB2）可以计算出 $\delta_j^l$，反向传播和前向传播计算量相当，所以总共只需2次前向传播的计算量就能计算出所有的 $\frac{\partial C}{\partial w_{jk}^l}$。这比使用微分定义式求偏导的计算量少了不止一点半点，简直是质的飞跃。