背景

时间序列问题比较常见，比如股市，工业生产指标等。

导入必要的Python包：

from statsmodels.tsa.api import ExponentialSmoothing, \
SimpleExpSmoothing, Holt

import statsmodels.api as sm

1. 朴素估计

$${\hat{y}}_{\mathrm{t}+1}={\mathrm{y}}_{\mathrm{t}}$$

使用最后一个时间点的值估测后面一段时间段的值。

dd= np.asarray(train.Count)
y_hat = test.copy()
y_hat['naive'] = dd[len(dd)-1]

2. 简单平均

把历史时刻变量所有值的平均值作为预测值：

y_hat_avg = test.copy()
y_hat_avg['avg_forecast'] = train['Count'].mean()

4. 滑动窗平均

使用之前一定大小时间段的平均值作为这个时间点的值。

或者使用加权的滑动窗平均：

加权的权重可以根据时间来设定，比如越是近的时刻的权重越大。

y_hat_avg = test.copy()
y_hat_avg['moving_avg_forecast'] = train['Count'].rolling(60).mean().iloc[-1]

5. 简单指数平滑

当前时刻的值由历史时刻的值确定，但是根据时刻进行了指数衰减。

where 0≤ α ≤1 是平滑参数.

如果时间序列很长，可以看作：

from statsmodels.tsa.api import ExponentialSmoothing, \
SimpleExpSmoothing, Holt
y_hat_avg = test.copy()
fit2 = SimpleExpSmoothing(np.asarray(train['Count'])).fit(
smoothing_level=0.6,optimized=False)
y_hat_avg['SES'] = fit2.forecast(len(test))

5 Holt’s线性趋势方法

主要考虑趋势。

import statsmodels.api as sm
sm.tsa.seasonal_decompose(train.Count).plot()
result = sm.tsa.stattools.adfuller(train.Count)

7 Holt-winters 方法

这种思想比较简单有效，假设数据服从两点，

1.数据是呈递增、递减趋势的；
2.数据服从一个周期变化。

然后，对残差，再进行其他方式的拟合，比如三次样条曲线。

y_hat_avg = test.copy()
fit1 = ExponentialSmoothing(np.asarray(train['Count']) ,
seasonal_periods=7 ,trend='add', seasonal='add',).fit()
y_hat_avg['Holt_Winter'] = fit1.forecast(len(test))

8 Arima方法

ARIMA模型（Autoregressive Integrated Moving Average model）整合移动平均自回归模型。

ARIMA（p，d，q）模型：

ARIMA(p, d, q) 由三个部分组成：

• AR§：AR是autoregressive的缩写，表示自回归模型，含义是当前时间点的值等于过去若干个时间点的值的回归——因为不依赖于别的解释变量，只依赖于自己过去的历史值，故称为自回归；如果依赖过去最近的p个历史值，称阶数为p，记为AR(p)模型。
• I(d)：I是integrated的缩写，含义是模型对时间序列进行了差分；因为时间序列分析要求平稳性，不平稳的序列需要通过一定手段转化为平稳序列，一般采用的手段是差分；d表示差分的阶数，t时刻的值减去t-1时刻的值，得到新的时间序列称为1阶差分序列；1阶差分序列的1阶差分序列称为2阶差分序列，以此类推；另外，还有一种特殊的差分是季节性差分S，即一些时间序列反应出一定的周期T，让t时刻的值减去t-T时刻的值得到季节性差分序列。
• MA(q)：MA是moving average的缩写，表示移动平均模型，含义是当前时间点的值等于过去若干个时间点的预测误差的回归；预测误差=模型预测值-真实值；如果序列依赖过去最近的q个历史预测误差值，称阶数为q，记为MA(q)模型。

y_hat_avg = test.copy()
fit1 = sm.tsa.statespace.SARIMAX(train.Count, order=(2, 1, 
4),seasonal_order=(0,1,1,7)).fit()
y_hat_avg['SARIMA'] = fit1.predict(start="2013-11-1", 
end="2013-12-31", dynamic=True)

9. PROPHET 方法

Facebook提出的一种方法，与Holt-winters类似，主要想法是"
时间序列的分解（Decomposition of Time Series），它把时间序列 分成几个部分，分别是季节项 ，趋势项 ，剩余项，与Holt-winters方法类似 。

fbprophet的安装依赖Pystan.

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reference：

1. analytics : Time-series forecast；
2. 知乎 arima详解；
3. Forecasting at Scale Facebook；
4. Wiki Arima;
5. ARIMA模型详解;
6. Fbprophet 使用官网;