前面讲了几节决策树从底层的构造原理，更多的是面向分类的决策树，从树的用途上讲还有一种用途，那就是回归树，结构也是树，但是出来的结果是回归值。可能很多人不用回归树做任务的时候很少去管回归树，以至于有时候也不知道它们的区别，但是还是有必要掌握，因为牛逼的树算法，比如GBDT，xgboost的单棵树可不是分类树，是回归树。

所谓分类树就是面向分类的，每个决策树最末端的叶子结点出来的是一个分类标签，不是0就是1或者2等类别。回归树就是面向回归的，回归就是拟合函数一样，输出连续值，比如根据一大堆当天的特征输出明天的气温，气温是每个样本唯一输出的值，只不过输出的值根据特征的不一样输出值不一样而已，但是它们输出的意义是一样的，那就是都是气温。搞清楚这两者的输出区别很重要。

再来简单回顾下决策树的历程，对于分类树，最开始以信息熵的方式作为特征分裂节点的选择，是第一代ID3方法，之后改进信息熵的部分缺点，采用信息增益的方式作为分类节点，变成了C4.5方法，再有就是采用gini系数的方式作为特征分裂的方法，变成了CART分类树，但是gini系数的方法更多见于回归树里面，此时回归分类已经有点混用了。

CART的字面意思就是分类和回归树(classification and regression tree)。关于分类树就不再介绍了。重点解释下回归树的构造与区别。

我们说分类树的最后一层叶子结点后才是分类标签，其他时候的节点都不是，可以认为是某个特征属性。简单如图1所示，树构建完以后就是父节点都是按照大特征走，走到最后才是分类结果。

那么回归树不是这样，它们所有节点可以理解为都是一个东西，就是待回归属性，比如温度，最后的回归值是把树走完走到最后一个节点的值。简单如图2所示：

可以看到，分支的条件基本不变，都是某个特征按照条件走对应分支。上图的意思就是，给一组样本特征（x1,x2,x3），假如你什么都不干，那回归的输出值就是50，加入按照x1走一步，可能回归得到30度或者80度，如果你不往下走了，那这就是最终的回归值，如果还往下走，那就再对应属性走，得到最后的回归温度值。

所以在理解上一个很明显的区别就是，回归树，每一个节点都可以认为是一个回归值，只不过这个值不是最优回归值，只有最底层的节点回归值可能才是理想的回归值。所谓回归，也是走到节点的尽头，看看这个节点值是多少，那就把它当成输出值吧。

到了这里，你去套用一下分类树的构造方法去建树，你会发现没办法了，回归树节点不是属性特征呀，是一个具体的值呀，不像分类树是一个属性。说不是属性，也不完全是，要不然你怎么知道是按照x1属性分裂的呢，所以如果把回归树画成下面这样的更好理解：

一个节点有两个东西，有回归值（蓝色），也有分裂选择的属性（浅绿色）。这样来了一组特征，我就知道最终怎么去回归以及回归得到的值是多少了。

说了半天我们只是在说回归树建完后的样子，那么如何去建这样的一个回归树呢？

其实建回归树和建分类树有相似也有不同，相似处在于：每个节点需要知道两个分裂的东西，一个是特征属性，是x1还是x2去分裂，另外一个是加入选择了x1去分裂，那么按照多少分裂左右两边合适（也就是图中的10是怎么来的）。至于每个节点的回归值怎么来的，等会再说。

这两个东西怎么来的呢？很简单，粗暴的遍历，和分类树一样，遍历所有特征(X1～Xn)，每个特征再去遍历所有的分割点，这在前面也讲过，应该知道。所以你去看源码会发现，在某个地方一定有这样的两层for循环去遍历寻找这样的分割属性与对应的分割值，或者就是改进的两层for循环。

那么现在另外一个重要的问题就是，你怎么判断特征x1分裂值10和特征x3分裂值2在这个节点构建上的好坏呢？对回归树用平方误差最小化准则，对分类树用基尼指数最小化准则，进行特征选择，生成二叉树。

首先我们说说顶节点50是怎么来的，还是以温度为例，那么50就是在当前集合里所有样本的温度的平均值，此时没有分裂，集合就是所有样本。那么假如按照(x1,10)分裂，也就是图中的那样，是不是会有两个子集了，这样，是不是也可以计算每个子集里面的平均温度作为这个集合的回归值（也就是30，80），同理(x3,2)在第一个节点的时候也可以分裂，可能也会有个子节点的平均值，假设（20，70）吧，那么到底(x1,10)好还是(x3,2)好呢，一个重要的损失函数来了，那就是平方损失函数：Loss(y,f(x))=(f(x)−y)2 ； （当然也有其他的函数）

经过分裂的两个子集分别可以计算一个这样的损失值，y就是对应子集平均值，对应图中就是第二层节点的30那个值，而f(x)就是对应子集里面每一个样本实际用于训练的真实温度吧。这样左右子集都可以计算一个损失值，加起来就是分裂方式(x1,10)的损失值，同理可以计算(x3,2)以及任何一个分裂方式的值。最后挑选最小损失值对应的分裂方式就是当前节点的分裂方式。一旦分裂方法固定后，就可以得到对应的左右子集了，那么也就可以计算对应子集的平均值作为该节点的回归值了。

也许你会问，这么做合理吗？我们想一下，这样做类似什么算法？是不是很像聚类一样？每一个节点的值就是对应子集的均值，想想kmeans聚类的目标函数是什么，也是平方损失函数吧。既然类似聚类，一个样本想得到好的回归值，是不是在各个特征上聚到和自己最像的样本上是不是最合理。这么一看，回归树其实是一种更高级的聚类方法，回归值是聚类的中心值。只不过这是一种高级的非线性的聚类。

下图是统计学习方法上回归树的算法流程图，请好好对比上述的文字过程理解下，还是非常容易懂的。

至此我想你应该理解了到底什么是分类树，什么是回归树了，它们之间有区别也有共性，典型的区别在于，回归树输出连续值，节点裂变的损失函数或者方法不一样。共性在于，都存在着分裂节点属性以及属性值的选择问题。

回归树是更高级算法GBDT、Xgboost的基础部分，留着下节再来介绍。

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