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最小二乘法的基本原理和多项式拟合

一 最小二乘法的基本原理

从整体上考虑近似函数 同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差 (i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 (i=0,1,…,m)绝对值的最大值 ，即误差 向量 的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和 的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和 来 度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。

数据拟合的具体作法是：对给定数据  (i=0,1,…，m)，在取定的函数类 中,求 ,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即

    =

从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线 （图6-1）。函数 称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

在曲线拟合中，函数类 可有不同的选取方法.

6—1

二 多项式拟合

假设给定数据点 (i=0,1,…,m)， 为所有次数不超过 的多项式构成的函数类，现求一 ,使得

      (1)

当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的 称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。

显然

为 的多元函数，因此上述问题即为求 的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得

      (2)

即

          (3)

（3）是关于 的线性方程组，用矩阵表示为

      (4)

式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。

可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出(k=0,1,…，n)，从而可得多项式

        (5)

可以证明，式（5）中的 满足式（1），即 为所求的拟合多项式。我们把 称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作

由式(2)可得

         (6)

多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：

 (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；

(2) 列表计算 和 ；

(3) 写出正规方程组，求出 ；

(4) 写出拟合多项式 。

在实际应用中， 或 ；当 时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。 

例1 测得铜导线在温度 (℃)时的电阻 如表6-1，求电阻R与温度 T的近似函数关系。

i	0	1	2	3	4	5	6
(℃)	19.1	25.0	30.1	36.0	40.0	45.1	50.0
	76.30	77.80	79.25	80.80	82.35	83.90	85.10

解  画出散点图（图6-2），可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为

列表如下

i
0	19.1	76.30	364.81	1457.330
1	25.0	77.80	625.00	1945.000
2	30.1	79.25	906.01	2385.425
3	36.0	80.80	1296.00	2908.800
4	40.0	82.35	1600.00	3294.000
5	45.1	83.90	2034.01	3783.890
6	50.0	85.10	2500.00	4255.000
	245.3	565.5	9325.83	20029.445

正规方程组为

解方程组得

故得R与T的拟合直线为

利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=-242.5，即预测温度T=-242.5℃时，铜导线无电阻。

6-2

例2     例2     已知实验数据如下表

 

 

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	3	4	5	6	7	8	9	10
	10	5	4	2	1	1	2	3	4

试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。

解   设拟合曲线方程为



列表如下

I
0	1	10	1	1	1	10	10
1	3	5	9	27	81	15	45
2	4	4	16	64	256	16	64
3	5	2	25	125	625	10	50
4	6	1	36	216	1296	6	36
5	7	1	49	343	2401	7	49
6	8	2	64	512	4096	16	128
7	9	3	81	729	6561	27	243
8	10	4	100	1000	10000	40	400
	53	32	381	3017	25317	147	1025

得正规方程组

解得

故拟合多项式为

*三 最小二乘拟合多项式的存在唯一性

定理1   设节点 互异，则法方程组（4）的解存在唯一。

证  由克莱姆法则，只需证明方程组（4）的系数矩阵非奇异即可。

用反证法，设方程组（4）的系数矩阵奇异，则其所对应的齐次方程组

     （7）

有非零解。式(7)可写为

       （8）

将式（8）中第j个方程乘以 (j=0,1,…，n)，然后将新得到的n+1个方程左右两端分别 相加，得

因为

其中



所以

   (i=0,1,…,m)

是次数不超过n的多项式，它有m+1＞n个相异零点，由代数基本定理，必须有 ，与齐次方程组有非零解的假设矛盾。因此正规方程组（4）必有唯一解 。定理2  设 是正规方程组（4）的解，则 是满足式（1）的最小二乘拟合多项式。

证   只需证明，对任意一组数 组成的多项式 ，恒有

即可。

因为 (k=0,1,…，n)是正规方程组（4）的解，所以满足式（2），因此有

故 为最小二乘拟合多项式。

*四  多项式拟合中克服正规方程组的病态

在多项式拟合中，当拟合多项式的次数较高时，其正规方程组往往是病态的。而且

①正规方程组系数矩阵的阶数越高，病态越严重；

②拟合节点分布的区间 偏离原点越远，病态越严重；

③ (i=0,1,…，m)的数量级相差越大，病态越严重。

为了克服以上缺点，一般采用以下措施：

①尽量少作高次拟合多项式，而作不同的分段低次拟合；

②不使用原始节点作拟合，将节点分布区间作平移，使新的节点 关于原 点对称，可大大降低正规方程组的条件数，从而减低病态程度。

平移公式为：

      (9)

③对平移后的节点 (i=0,1,…，m),再作压缩或扩张处理：

      （10）

其中 ,（r是拟合次数）       （11）

经过这样调整可以使 的数量级不太大也不太小，特别对于等距节点 ，作式（10）和式（11）两项变换后，其正规方程组的系数矩阵设 为A，则对1～4次多项式拟合，条件数都不太大，都可以得到满意的结果。

变换后的条件数上限表如下：

拟合次数	1	2	3	4
	=1	<9.9	<50.3	<435

 

④在实际应用中还可以利用正交多项式求拟合多项式。一种方法是构造离散正交多项式；另一种方法是利用切比雪夫节点求出函数值后再使用正交多项式。这两种方法都使正规方程组的系数矩阵为对角矩阵，从而避免了正规方程组的病态。我们只介绍第一种，见第三节。

例如 m=19, =328,h=1, = +ih，i=0,1,…，19，即节点 分布在［328,347］，作二次多项式拟合时

① 直接用 构造正规方程组系数矩阵 ，计算可得

严重病态，拟合结果完全不能用。

② 作平移变换

用 构造正规方程组系数矩阵 ，计算可得

比 降低了13个数量级，病态显著改善，拟合效果较好。

③ 取压缩因子

作压缩变换

用 构造正规方程组系数矩阵 ，计算可得

又比 降低了3个数量级，是良态的方程组，拟合效果十分理想。

如有必要，在得到的拟合多项式 中使用原来节点所对应的变量x，可写为



仍为一个关于x的n次多项式，正是我们要求的拟合多项式。